Geboren in Budapest in einer Musikerfamilie. Sie erhielt bereits mit fünf Jahren den ersten Cellounterricht. Das Studium am Béla Bartók Konservatorium Budapest absolvierte sie bei László Szilvássy im Alter von 15 Jahren und gewann anschliessend den 2. Preis beim nationalen Cellowettbewerb ‚Antal Friss‘. An der Franz Liszt Musikakademie in Budapst erhielt sie 1994 das Solistendiplom mit Auszeichnung bei Tamás Koó und Csaba Onczay.

Parallel zum Studium war Anikó Illényi ab 1992 Mitglied im Orchester des Opernhauses Budapest, wo sie zwei Jahre später die Stelle als 1. Solocellistin erhielt. Gleichzeitig dazu sammelte sie wertvolle Erfahrungen als Solocellistin im Kammerorchester Transsylvania Budapest.

Seit ihrer Kindheit spielt sie Kammermusik mit ihren Geschwistern und pflegt auch heute eine aktive Tätigkeit als gefragte Kammermusikerin. Seit 1996 lebt Anikó Illényi in der Schweiz und ist als stellvertretende Solocellistin im Musikkollegium Winterthur tätig.